33 갈루아와 5차방정식

— 풀 수 없음을 증명하는 아름다움

33.1 문제

2차방정식에는 근의 공식이 있다. 3차, 4차도 있다.

5차는?

300년간 수학자들이 공식을 찾았다. 아벨은 “없다”고 증명했다.

그러나 왜 없는지는 설명하지 못했다.

에바리스트 갈루아는 20세에 죽었다. 결투 전날 밤, 그는 편지를 썼다.

그 편지에는 수학이 아니라 수학을 보는 새로운 방식이 있었다.

갈루아는 방정식을 풀려 하지 않았다. 대신 방정식의 대칭 구조를 봤다.

기존 질문: “근이 무엇인가?” 갈루아의 질문: “근들 사이의 관계가 무엇인가?”

갈루아는 ’군(Group)’이라는 구조를 발명했다.

방정식의 근들이 어떻게 서로 치환될 수 있는지, 그 치환들이 어떤 구조를 이루는지를 봤다.

5차방정식의 군은 단순군이다. 더 이상 쪼갤 수 없다.

근의 공식은 군을 단계적으로 쪼개는 과정이다. 쪼갤 수 없으면, 공식도 없다.

풀 수 없음이 구조적 필연이 되었다.

갈루아 이론은 방정식을 넘어섰다.

20세 청년의 편지 한 장이 수학의 언어 자체를 바꿨다.

갈루아의 증명이 아름다운 이유:

그는 답을 구하지 않았다. 답이 없는 이유를 구조로 보여줬다.

“풀 수 없다”는 것을 아름답게 증명할 수 있다. 그것이 갈루아가 남긴 것이다.