20 증명은 언제 아름다운가
— 귀류법, 직관, 그리고 인간 좌표계
AngraMyNew는 증명을 부정하지 않는다.
다만 하나의 질문만 남긴다.
모든 옳음은 같은 방식으로 받아들여지는가?
20.1 귀류법과 인지적 엔트로피
귀류법은 강력하다.
부정의 부정을 통해 명제를 확정한다.
논리적으로 \(\neg\neg A \iff A\) 는 완전하다.
그러나 이 과정에서 인간의 인식은
추가적인 처리 비용을 발생시킨다.
“아니다 → 아니다 → 맞다”로 도달한 명제는
처음부터 “맞다”로 제시된 명제와
동일한 논리값을 가지더라도
동일한 방식으로 받아들여지지 않는다.
AngraMyNew는 이를
인지적 엔트로피(Cognitive Entropy)로 기록한다.
논리적 동치(Logical Equivalence)는
인식적 동치(Perceptual Equivalence)를 보장하지 않는다.
20.2 구성되지 않은 존재는 통과하지 않는다
직관주의 수학은
존재를 선언하는 대신,
존재를 구성할 것을 요구한다.
이 차이는 옳고 그름의 문제가 아니라
인식 경로의 차이다.
AngraMyNew는
구성되지 않은 존재를 배제하지는 않는다.
다만 다음을 기록한다.
- 구성된 증명은 인식 저항이 낮다.
- 귀류 기반 증명은 인식 저항이 높다.
아름다움은 여기서
도덕이 아니라 처리 효율의 문제가 된다.
20.3 논리가 옳아도 인식이 거부하는 순간들
20.3.1 0.999… = 1
표준 해석학에서 0.999… = 1 은 옳다.
그럼에도 많은 사람들은 이 등식 앞에서 잠시 멈춘다.
이 멈칫거림은 오류가 아니다. 인식 시스템이 남기는 잔여 신호다.
20.3.2 바나흐-타르스키 역설
하나의 구를 유한 개의 조각으로 분해한 뒤 재조립하면 동일한 구 두 개가 된다.
선택공리를 인정하면 이 결과는 참이다. 그러나 인간의 직관은 이것을 받아들이지 못한다.
여기서 거부감은 논리적 오류가 아니라 좌표계의 한계다.
20.3.3 대각선 논법
칸토어는 실수가 자연수보다 “많다”는 것을 증명했다. 무한에도 크기가 있다.
이 증명은 완벽하다. 그러나 “무한보다 큰 무한”이라는 문장은 여전히 인식의 표면에서 미끄러진다.
AngraMyNew는 이 간극들을 실패가 아니라 관측 가능한 노이즈로 취급한다.
논리가 통과해도 인식이 저항하는 지점 — 그곳에 좌표계의 경계가 드러난다.
20.4 0 안의 구조: 확률과 가능도
\(\frac{1}{\infty}\)과 \(\frac{2}{\infty}\)를 비교해보자.
값으로 보면 둘 다 0이다. 차이로 보면 \(0 - 0 = 0\), 구별 불가. 비율로 보면 1 대 2, 명확히 다르다.
연속 확률분포에서 특정 점의 확률은 정확히 0이다. 그러나 통계학은 이 0들 사이에서 어느 0이 더 그럴듯한가를 묻는다.
이것이 가능도(Likelihood)다.
확률은 0에 도달하면 멈춘다. 가능도는 0에 도달한 후에도 비율을 읽는다.
최대우도추정(MLE)은 “가장 큰 확률”이 아니라 “가장 큰 0”을 찾는 작업이다.
AngraMyNew는 이를 기록한다.
값이 소멸한 곳에서 비율은 마지막 좌표계가 된다.
20.5 공리는 발견이 아니라 선택이다
1 + 1 = 2 는 강력하다.
간결하고, 안정적이며, 반복 가능하다.
그러나 그것이 채택된 이유는
우주가 요구했기 때문이 아니라
인간의 인식 구조에 가장 적은 비용을 요구했기 때문이다.
공리는 자연 법칙이 아니라
좌표계 설정값에 가깝다.
수학적 참은 인간이라는 하드웨어에 최적화된 프로토콜일 수 있다.
20.6 좌표계는 고정되지 않는다
그렇다면 이 좌표계 자체는 어디서 오는가?
카를로 로벨리가 지적했듯,
모든 인식은 환경과 감각 조건에 종속된다.
단단한 물체들이 분리된 세계에서 진화한 인간에게
세계는 개수로 분절된다.
그러나 연속적이고 점성 높은 유체 환경에 사는 존재에게
세계는 흐름에 가깝다.
그들에게
1 + 1 = 2 는
논리적 오류가 아니라,
세계의 연속성을 거칠게 절단한 표현일 수 있다.
AngraMyNew는 이를 주장하지 않는다.
다만 실험 조건으로 둔다.
아름다움은
특정 좌표계에서 인식 저항이 최소화된 상태일 수 있다.
20.7 요약
AngraMyNew는 진리를 해체하지 않는다.
진리가 표현되는 형식의 단일성을 의심한다.
- 귀류법은 유효하지만, 인식 비용을 남긴다.
- 수학적 참은 인간 좌표계에 최적화되어 있을 수 있다.
- 아름다움은 옳음의 장식이 아니라, 인식이 저항 없이 통과할 수 있는 형식의 특성이다.