85  가장 단순한 수가 가장 무리하다

— 연분수와 황금비의 역설

85.1 분수의 분수

모든 실수는 이렇게 쓸 수 있다.

\[a_0 + \dfrac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{a_3 + \cdots}}}\]

간단히 \([a_0;\, a_1, a_2, a_3, \ldots]\)로 표기한다. 연분수(continued fraction). 분수 안에 분수가 끝없이 들어간다.

이 표현에는 분류 능력이 있다.

수의 종류 연분수 구조
유리수 유한 끝난다
이차무리수 (\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), …) 주기적 반복한다
그 외 무리수 (\(\sqrt[3]{2}\), \(\pi\), \(e\), …) 비주기적 무한 끝나지도 반복하지도 않는다

유리수의 연분수는 유한하다 — 끝이 있다. 이차무리수의 연분수는 무한하지만 주기적이다 — 패턴이 반복된다(라그랑주 정리). 3차 이상의 대수적 무리수와 초월수는 비주기적이다 — 끝도 패턴도 없다. 주기성은 이차무리수의 고유한 특권이다.

대체로, 수의 대수적 복잡도가 연분수의 구조적 복잡도에 대응한다.

85.2 최선의 근사

연분수를 \(n\)번째에서 끊으면 수렴자(convergent) \(p_n / q_n\)이 나온다. 이 수렴자는 특별한 성질을 갖는다.

무리수 \(\alpha\)에 대해, 분모가 \(q_{n+1}\) 미만인 기약분수 \(p/q\) (\(q > 0\)) 중에서 \(p_n / q_n\)보다 \(\alpha\)에 더 가까운 것은 없다.

최선의 유리수 근사를 찾으라는 문제에 대해, 연분수는 자동으로 답을 생성한다. 탐색이 필요 없다. 구조에서 나온다.

85.3 역설

그렇다면 근사하기 가장 어려운 수는 무엇인가. 수렴이 가장 느린 연분수는 어떤 형태인가.

수렴 속도는 부분 몫 \(a_n\)의 크기에 달려 있다. \(a_n\)이 크면 수렴이 빠르다 — 큰 부분 몫은 좋은 근사를 한 번에 만들어낸다. \(a_n\)이 작으면 수렴이 느리다 — 작은 부분 몫은 조금씩만 다가간다.

부분 몫의 최솟값은 1이다. 모든 부분 몫이 1인 연분수:

\[[1;\, 1, 1, 1, 1, \ldots]\]

가능한 가장 작은 부분 몫이 무한히 이어진다. 가장 단순한 무한 연분수. 이 수를 계산하면:

\[\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618\ldots\]

황금비다.

황금비는 가장 단순한 무한 연분수이면서, 동시에 유리수로 근사하기 가장 어려운 부류의 수다. 후르비츠(Hurwitz)가 증명했다: 모든 무리수 \(\alpha\)에 대해 \(|\alpha - p/q| < 1/(\sqrt{5}\, q^2)\)인 유리수 \(p/q\)가 무한히 존재한다. 상수 \(\sqrt{5}\)를 더 크게 잡으면 이 정리는 깨지는데, 깨뜨리는 수가 정확히 황금비와 그 동치류다. 부분 몫이 전부 1이므로 수렴자가 가장 천천히 다가간다.

가장 단순한 표현이 가장 무리한 수를 만든다.

85.4 맺음

연분수가 아름다운 이유는 실수를 분해해서가 아니다. 구조의 끝에 역설이 있기 때문이다.

가장 단순한 연분수가 가장 무리한 수를 만든다. 단순성의 끝에 비합리성이 있다.

85.5 관련 문서