87  가까움은 하나가 아니다

— p-adic 거리

87.1 거리

두 수 사이의 거리: \(|a - b|\). 차이의 절댓값.

1과 1000001은 멀다. 1과 1.001은 가깝다. 차이가 작을수록 가깝고, 클수록 멀다. 이것을 의심하는 사람은 없다.

이것은 거리가 아니라 하나의 거리다.

87.2 나눗셈

소수 \(p\)를 하나 고정한다. \(p = 2\)로 놓자.

두 수의 차이를 2로 몇 번 나눌 수 있는지 센다. 많이 나눌수록 가깝다고 정의한다.

0과 16의 차이는 \(16 = 2^4\). 네 번 나누어진다. 2-adic 거리: \(|16|_2 = 1/16\). 가깝다.

0과 1의 차이는 1. 2로 나누어지지 않는다. 2-adic 거리: \(|1|_2 = 1\). 멀다.

유클리드에서 16은 1보다 0에서 멀다. 2-adic에서 16은 1보다 0에 가깝다.

87.3 역전

\(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots\)

유클리드에서 이 급수는 발산한다. 항이 커지니까. 합은 없다.

2-adic에서 보면: \(|2^n|_2 = 1/2^n\). 항이 작아진다. 급수가 수렴한다.

부분합은 \(1 + 2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1\)이다. 이 부분합과 \(-1\)의 2-adic 거리는 \(|2^n|_2 = 1/2^n\). \(n\)이 커지면 0으로 간다.

\[1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots = -1 \quad (\text{in } \mathbb{Q}_2)\]

같은 급수다. 같은 양수들의 덧셈이다. 거리를 바꿨을 뿐인데 발산이 수렴이 되었고, 양수들의 합이 \(-1\)이 되었다.

87.4 둘뿐

자연스러운 질문: 유클리드와 p-adic 말고 다른 거리는 없는가?

오스트로프스키(Ostrowski)가 증명했다. 유리수 \(\mathbb{Q}\) 위의 자명하지 않은 절댓값은 유클리드 절댓값 또는 어떤 소수 \(p\)에 대한 p-adic 절댓값과 동치(equivalent)다. 소수마다 하나씩의 p-adic이 있지만, 크기를 재는 원리는 둘뿐이다 — 차이의 크기를 보거나, 차이의 나눗셈 횟수를 보거나.

유클리드 거리는 유일한 거리가 아니었다. 다른 원리가 있었고, 그 원리 안에서 수의 운명은 달라진다.

87.5 맺음

p-adic 거리가 아름다운 이유는 이상한 거리여서가 아니다.

가까움이 선택이라는 것을 보여주기 때문이다. 유클리드 안에서 “16은 0에서 멀다”는 사실이다. p-adic 안에서 “16은 0에 가깝다”도 사실이다. 둘 다 정당한 거리이고, 이 둘 외에 다른 원리는 없다.

가까움을 다시 정의하면 발산이 수렴이 된다. 그리고 유리수 위의 거리는 두 원리뿐이다.

87.6 관련 문서